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完全数有哪些_完全数的前世今生

  • 发布时间:2020-05-25   浏览: 次   来源:数学故事  

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  公元前3世纪时,古希腊数学家对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中,发现了一些奇妙的性质,如有的数的真因数之和彼此相等,于是诞生了亲和数;而有的真因数之和居然等于自身,于是发现了完全数。6是人们最先认识的完全数。

  发现完全数

飞艇开奖官方网站  研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6,他十分感兴趣地说:“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。”

  古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。

  约公元前300年,几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法,被誉为欧几里得定理:“如果2n-1是一个素数,那么自然数2n-1一定是一个完全数。”并给出了证明。

  公元1世纪,毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学飞艇开奖官方网站家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中,正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数,并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类:富裕数、不足数和完全数,其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。

  千年跨一步

飞艇开奖官方网站  完全数在古希腊诞生后,吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。可是,一代又一代人付出了无数的心血,第五个完全数没人找到。

  后来,由于欧洲不断进行战争,希腊、罗马科学逐渐衰退,一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国,从此,希腊、罗马文明一蹶不振。

飞艇开奖官方网站  直到1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契,青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区,学到了不少数学知识。他才华横溢,回国后潜心研究所搜集的数学,写出了名著《算盘书》,成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人,并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契没有放过完全数的研究,他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则,可惜没有人共鸣,成为过眼烟云。

飞艇开奖官方网站  光阴似箭,1460年,还当人们迷惘之际,有人偶然发现在一位无名氏的手稿中,竟神秘地给出了第五个完全数33550336。这比起第四个完全数8128大了4000多倍。跨度如此之大,在计算落后的古代可想发现者之艰辛了,但是,手稿里没有说明他用什么方法得到的,又没有公布自己的姓名,这更使人迷惑不解了。

  发现非一帆风顺

  在无名氏成果鼓励下,15至19世纪是研究完全数不平凡的日子,其中17世纪出现了小高潮。

  16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头,落下了口吃的疾患,后来靠自学成为一位著名数学家。他研究发现:当n=2和n=3至39的奇数时,2n-1(2n-1)是完全数。

飞艇开奖官方网站  17世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中,一口气列出了28个所谓“完全数”,他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程,后人发现其中有许多是错误的。

  1603年,数学家克特迪历尽艰辛,终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的,同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数216(217-1)和218(219-1),但他又错误地认为222(223-1)、228(229-1)和236(237-1)也是完全数。这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了。

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  1644年,法国神甫兼大数学家梅森指出,庞格斯给出的28个“完全数”中,只有8个是正确的,即当n=2,3,5,7,13,17,19,31时,2n-1(2n-1)是完全数,同时又增加了n=67,127和257。

  在未证明的情况下他武断地说:当n≤257时,只有这11个完全数。这就是著名的“梅森猜测”。

飞艇开奖官方网站  “梅森猜测”吸引了许多人的研究,哥德巴赫认为是对的;微积分发现者之一的德国莱布尼兹也认为是对的。他们低估了完全数的难度。1730年,被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉,时年23岁,正值风华茂盛。他出手不凡,给出了一个出色的定理:“每一个偶完全数都是形如2n-1(2n-1)的自然数,其中n是素数,2n-1也是素数”,并给出了他一直没有发表的证明。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得与欧拉两个互逆定理,公式2n-1(2n-1)成为判断一个偶数是不是完全数的充要条件了。

  欧拉研究“梅森猜测”后指出:“我冒险断言:每一个小于50的素数,甚至小于100的素数使2n-1(2n-1)是完全数的仅有n取2,3,5,7,13,17,19,31,41,47,我从一个优美的定理出发得到了这些结果,我自信它们具有真实性。”

飞艇开奖官方网站  1772年,欧拉因过度拼命研究双目已经失明了,但他仍未停止研究,他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说:“我已经心算证明n=31时,230(231-1)是第8个完全数。”同时,他发现他过去认为n=41和n=47时是完全数是错误的。

飞艇开奖官方网站  欧拉定理和他发现的第8个完全数的方法,使完全数的研究发生了深刻变化,可是,人们仍不能彻底解决“梅森猜测”。

  1876年,法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法,证明n=127时确实是一个完全数,这使“梅森猜测”之一变成事实,鲁卡斯的新方法给研究完全数者带来生机,同时也动摇了“梅森猜测”。因数学家借助他的方法发现猜测中n=67,n=257时不是完全数。

  在以后1883——1931年的48年间,数学家发现“梅森猜测”中n≤257范围内漏掉了n=61,89,107时的三个完全数。

飞艇开奖官方网站  至此,人们前仆后继,不断另辟新路径,创造新方法,用笔算纸录,耗时二千多年,共找到12个完全数,即n=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127时,2n-1(2n-1)是完全数。

  笛卡尔曾公开预言:“能找出完全数是不会多的,好比人类一样,要找一个完全人亦非易事。”历史证实了他的预言。

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  从1952年开始,人们借助高性能计算机发现完全数,至1985年才找到18个,多么可怜!

  等待揭穿之谜

飞艇开奖官方网站  迄今为止,发现的30个完全数,统统都是偶数,于是,数学家提出猜测:存不存在奇数完全数。

  1633年11月,法国数学家笛卡尔给梅森一封信中,首次开创奇数完全数的研究,他认为每一奇完全数必具有PQ2的形式,其中P是素数,并声称不久他会找到,可不仅直到他死时未能找到,而且至今,没有任何一个数学家发现一个奇完全数。它成为世界数论又一大难题。

飞艇开奖官方网站  虽然,谁也不知道它们是否存在,但经过一代又一代数学家研究计算,有一点是明确的。那就是如果存在一个奇完全数的话,那么它一定是非常大的。有多大呢?远的不说,当代大数学家奥尔检查过1018以下自然数,没有一个奇完全数;1967年,塔克曼宣布,如果奇完全数存在,它必须大于1036,这是一个37位数;1972年,有人证明它必大于1050;1982年,有人证明,它必须大于10120;……这种难于捉摸的奇完全数也许可能有,但它实在太大,以至超出了人们能够用计算机计算的范围了。

飞艇开奖官方网站  对奇完全数是否存在,产生如此多的估计,也是数学界的一大奇闻!

飞艇开奖官方网站  关于完全数还有许多待揭之谜,比如:完全数之间有什么关系?完全数是有限还是无穷多个?存在不存在奇完全数?

  人们还发现完全数的一个奇妙现象,把一个完全数的各位数字加起来得到一个数,再把这个数的各位数字加起来,又得到一个数,一直这样做下去,结果一定是1。例如,对于28,2+8=10,1+0=1;对于496有,4+9+6=19,1+9=10,1+0=1等等。这一现象,对除6外的所有完全数是否成立?

  以上这些难题,与其它数学难题一样,有待人们去攻克。尽管我们现在还看不到完全数的实际用处,但它反映了自然数的某些基本规律。探索自然规律,揭开科学上的未知之谜,正是科学追求的目标。

  来源:京翰中考

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